|
Программы курсов по выбору по математике
Задачи по геометрии треугольника
И.Н. Плохова, учитель математики
А.В. Шапеева, учитель математики средняя школа ¹ 46, г. Набережные Челны
Пояснительная записка
Курс рассчитан на 17 часов.
Решение геометрических задач часто вызывает затруднения у учащихся. Это в первую очередь связано с тем, что редко какая задача может бьпъ решена только с использованием определенной формулы. При решении большинства задач не обойтись без привлечения разнообразных фактов, теорий, доказательств тех или иных утверждений, справедливых лишь при определенном расположении элементов фигур. Для успешного решения геометрических задач необходимо свободно владеть всем теоретическим материалом. Но и при хорошем знании теории приобрести навык в решении задач можно лишь решив достаточно много задач, начиная с простых и переходя к более сложным.
При обучении решению геометрических задач важно показать учащимся различные методы решения одной и той же задачи. Только при сопоставлении можно выбрать красивый и рациональный путь решения.
Данный курс систематизирует и углубляет ранее изученные знания и приобретенные умения и навыки. Материал группируется вокруг треугольника. Треугольник - наиболее употребительная фигура в планиметрии, и определения, формулировки теорем, формулы вычисления элементов треугольника хорошо известны учащимся. Исходя из этого, можно за основную форму организации курса на первом этапе принять обзорные лекции, в которых кратко освещается весь - теоретический материал, обращается внимание учащихся как на логику доказательств, так и на их поиск. Лекции иллюстрируются и дополняются решением задач, которые либо включаются в содержание лекции и демонстрируются учителем, либо решаются с помощью учителя.
На втором этапе используются свойства треугольника, повторение которых прошло на первом этапе, поэтому рекомендуется проведение уроков в виде бесед, в ходе которых учащиеся под руководством учителя доказывают основные теоремы и решают задачи. Третий этап - контрольный. Здесь формируются умения формировать доказательные суждения и применять весь багаж знаний по планиметрии в ходе решения содержательных задач. Учитель выступает в роли консультанта и проводит индивидуальную работу с учащимися.
Как при проведении доказательных рассуждений, так и в процессе поиска решения задач следует обращать внимание учащихся на геометрические конфигурации, вычленяемые из чертежа, иллюстрирующего условие задачи, которые позволяют создать наглядную основу, обеспечивающую эвристический переход от содержания задачи к ранее установленным геометрическим фактам.
Предлагаемые задачи варьируются по трудности от простых учебных до сложных, предлагаемых на вступительных экзаменах или олимпиадах. Причем делается акцент на то, что самые "очевидные" факты необходимо строго обосновывать. При изложении материала преподавателем следует обратить внимание на анализ содержания условия задачи и развития ее сюжетной линии, используемые методы решения, отслеживание причинно-следственных связей в рассуждениях.
Цели курса:
- систематизировать знания учащихся о треугольниках;
систематизировать знания учащихся о треугольниках; - формировать правильные геометрические представления об изучаемых предметах;
расширить представление учащихся о методах и приемах решения учебных задач;
- развитие абстрактного и логического мышления;
- познакомить со свойствами биссектрис и медиан треугольника, которые не включены в школьную программу;
- способствовать развитию учебной мотивации учащихся и осознанному выбору дальнейшего профиля обучения;
- научить, используя данные элементы треугольника, составлять системы уравнений относительно любых других элементов и находить их;
- формировать уверенность в том, что, зная какие-нибудь два элемента прямоугольного треугольника, можно найти все остальные.
Учебно-тематический план
¹
| Наименование темы
| Кол-во часов
| 1
| Методы и приемы решения учебных задач
| 2
| 2
| Произвольные треугольники
| 2
| 3
| Прямоугольные треугольники
| 2
| 4
| Подобие и равенства треугольников
| 2
| 5
| Площади
| 3
| 6
| Замечательные точки треугольника
| 2
| 7
| Треугольник и окружность
| 2
| 8
| Итоговое занятие. Решение задач
| 2
|
Содержание программы
1. Методы и приемы решения учебных задач:
- дополнительные построения;
- принцип непрерывности;
- метод доказательства "от противного";
- метод доказательства через контрпример;
- метод вспомогательных фигур (вспомогательный треугольник);
- метод введения вспомогательного элемента (вспомогательный отрезок);
- метод площадей.
2. Даны все стороны треугольника и надо найти остальные элементы, и когда даны две стороны и какой-либо элемент, а найти третью сторону.
3. Прямоугольный треугольник и его свойства.
4. Признаки подобия треугольников и теорема о метрических способностях в подобных треугольниках: в подобных треугольниках периметры и сходственные стороны пропорциональны, а площади относятся как квадраты сходственных сторон. При этом за сходственные размеры можно брать и медианы, и биссектрисы, и радиусы вписанной и описанной окружностей и т.д.
5. Площади. Отношение площадей треугольников, имеющих общую вы-с »ту, общий угол. Отношение площадей подобных треугольников.
6. Свойства биссектрисы, медиан и высот. Четыре замечательные точки в треугольнике - это точки пересечения: медиан треугольника; биссектрис треугольника; перпендикуляров к сторонам треугольника, проходящих через их середины; и высот треугольника. Из них наиболее важны первые три. Точка пересечения медиан треугольника, которой каждая из них делятся в отношении 2:1, считая от вершины, называется центром тяжести треугольника. Точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника называется центром окружности, вписанной в треугольник. Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Теорема об ортоцентре треугольника в школьной практике фактически не используется. Поэтому доказательства этой теоремы и здесь не приводятся. Необходимо только знать о существовании ортоцентра треугольника.
7. Вписанные и описанные треугольники.
Литература
1. Антонов И.П., Выгодский М.Я. и др. Сборник задач по элементарной математике (пособие для самообразования). - М.: Наука, 1979.
2. Газета "Математика". - ¹48. - 1999, ¹21.- 2000, ¹8.- 2002, ¹9. - 2002.
3. Кутасов А.Д., Пиголкина Т. С. и др. Пособие по математике для поступающих в вузы. - М.: Наука, 1982.
Приложения
Примерные задачи
1. Периметр прямоугольного треугольника равен 132, а сумма квадратов сторон треугольника 6050. Найти стороны.
2. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а высота 20 см. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.
3. В треугольнике основание равно 60 см, а высота 12 см и медиана, проведенная к основанию, 13 см. Определить боковые стороны.
4. На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом Ь построены квадраты во внешние стороны. Центры этих квадратов соединены между собой прямыми линиями. Найти площадь получившегося треугольника.
5. В равносторонний треугольник АВС, сторона которого а, вписан другой равносторонний треугольник ЬММ, вершины которого лежат на сторонах первого треугольника и делят каждую из них в отношении 1: 2. Определить площадь треугольника ЬММ.
6. Найти стороны прямоугольного треугольника по данным: периметру 2р и высоте Ь.
7. На боковых сторонах СА и СВ равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки СМ и СМ. Определить длину этих отрезков, зная периметр 2р треугольника АВС, его основание АВ = 2а и периметр 2р четырехугольника АММВ, отсеченного прямой ММ.
8. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его 12 см, а высота, опущенная на основание, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.
9. Основание треугольника делится высотою на части длиной 36 см и 14 см. Перпендикулярно к основанию проведена прямая, делящая площадь данного треугольника пополам. На какие части эта прямая разбила основание треугольника?
10. Высота треугольника равна 4; она делит основание на две части, относящиеся, как 1:8. Найти длину прямой, параллельной высоте и делящей треугольники на равновеликие части.
11. Внутри равностороннего треугольника взята произвольная точка, из которой опущены перпендикуляры на все его стороны. Доказать, что сумма этих трех перпендикуляров равна высоте треугольника.
12. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен А. Определить отношение радиусов вписанного и описанного кругов.
Методы и приемы решения учебных задач
1. Дополнительное построение. Продли медиану.
Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение.
2. Принцип непрерывности.
Характеристика метода. Пусть величина К (угол, длина, площадь) зависит от положения точки X на отрезке (ломаной или другой линии). Если при одном положении X на отрезке К >0, а при другом положении X на отрезке К>0, то найдется такое положение Хна этом отрезке, при котором К=0.
3. Метод доказательства "от противного".
Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида А = >В (А- условие, В - заключение). Суть доказательства данным методом состоит в следующем:
- предполагаем, что заключение В не выполняется;
- путем логических рассуждений приходим к тому, что условие А не выполняется, т. е. получаем противоречие с условием;
- дальнейший анализ показывает, что причина полученного противоречия кроется в первоначальном предположении;
делаем вывод, что это предположение неверно и, следовательно, заключение В выполняется (что и требовалось доказать).
4. Метод доказательства "от противного".
Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида А = >В (*). (А - условие, В - заключение). Идея доказательства опирается на равносильность теоремы (*) и теоремы противоположной данной, т. е. теоремы В = > А (**).
Суть доказательства данным методом состоит в следующем:
- составляем теорему вида (**);
- доказываем составленную теорему;
- основываясь на описанной выше равносильности, делаем вывод, что теорема (утверждение) (*) верна.
5. Метод доказательства через контрпример.
Характеристика метода. Данный метод применяется в ситуации, когда н; до показать ложность утверждения вида: А => В (*).
В этом случае создается (строится) объект (фигура, формула), который обладает свойствами, входящими в условие А, но не обладает свойствами, присутствующими в заключении В. Существование такого объекта показывает ложность утверждения (*).
Конечно, редко встречаются задачи, где явно требуется доказать ложность некоторого утверждения, но иногда, например после выдвижения гипотезы, легче попытаться опровергнуть ее через контрпример, а потом, в случае неудачи, начать доказывать, чем сразу приступать к доказательству.
6. Метод вспомогательных фигур. Вспомогательный треугольник.
Характеристика метода. При помощи некоторого дополнительного пост юения ( продление отрезка, геометрическое преобразование и др.) полз чают треугольник, который дает возможность получить решение задача Обычно такой треугольник обладает двумя важными для решения зада-чр свойствами:
- его элементы некоторым образом связаны с элементами, фигурирующими в условии задачи;
- для его элементов легче найти характеристики, позволяющие получить решение, чем для фигур, непосредственно заданных условием.
7. Метод введения вспомогательного элемента. Вспомогательный отрезок.
Характеристика метода. Длину некоторого отрезка рассматриваемой в задаче фигуры полагают равной, например, х и затем находят искомую величину. При этом в одних случаях вспомогательная величина в процессе решения задачи "исчезает" (сокращается), а в других ее нужно определить через данные условия и поставить в полученное для искомой величины выражение.
8. Метод площадей.
Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей - из геометрической задачи он "делает" алгебраическую, сводя все к решению уравнения, а иногда системы уравнений.
Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами.
Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы.
Общие рекомендации
рекомендации Приведем несколько советов на тот случай, когда задача не поддается решению.
Исследуйте задачу наиболее естественным путем, допуская, что она решена, и постарайтесь в соответствующем порядке наглядно представить все соотношения, которые, согласно условию, должны иметь место между неизвестными и данными. Ответьте себе, что дано и что требуется найти.
Помните, что целью задачи на нахождение является неизвестное. Чтобы сосредоточить свое внимание на этой цели, спросите себя: что представляет собой неизвестное?
Целью задачи на доказательство является заключение. Спросите себя: в чем состоит заключение?
Испытайте задачу на правдоподобие, переформулируйте задачу, подумайте, не встречали ли похожую, используйте аналогию.
Начиная решать задачу, используйте определение и свойства входящих в задачу данных и искомых элементов, ведите рассуждения. Вспомните теоремы, в которых связаны данные и искомые элементы задачи, вспомните похожие задачи.
Для контроля правильности решения задачи полезно не только еще раз просмотреть решение и проверить выкладки, но и провести в некотором смысле, обратное решение: исходя из ответа, вычислить известные элементы, проверить, существует ли фигура при найденном значении искомой величины. Если задача с параметром, выбрать для проверки такое значение параметра, при котором решение очевидно или результат легко находится.
После решения вернитесь: "Нельзя ли решить проще?"
Возвратные последовательности
А.А. Алимова, учитель математики
учитель математики Л.А. Степанова, учитель математики,
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
учитель математики, средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
Пояснительная записка
Тема "Возвратные последовательности" близка к школьному курсу, изучающему арифметические и геометрические прогрессии, последовательности квадратов и кубов натуральных чисел и любые периодические последовательности.
Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы еще в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муавром и первыми петербургскими академиками Даниилом Бернулли и Леонардом Эйлером.
Данный курс дает учащимся представление о разнообразии возвратных последовательностей и их ролей в математике, показывает, что возвратные последовательности недалеко ушли от наиболее простых из них - геометрической прогрессии и последовательностей степеней натуральных чисел (арифметической прогрессии).
Занятия не должны проходить только в лекционной форме: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы. Программа состоит из 4 блоков, связанных единой идеей. На изучение первого блока отводится 4 часа, в нем систематизируются знания об арифметической и геометрической прогрессиях, вводится понятие возвратной последовательности, разбираются примеры.
На второй блок отводится 2 часа, здесь рассматривается последовательность порядка 1с, ее свойства.
На изучение третьего блока требуется 4 часа, в нем рассматривается не только вывод главного члена возвратной последовательности, основные теоремы и свойства, но и разбирается достаточное количество примеров.
Цель последнего, четвертого блока - научить применять изученный теоретический материал на практике, причем многие задания выполняются с помощью метода математической индукции, с которым учеников нужно предварительно познакомить. На изучение блока выделяется 5 часов, еще 2 часа можно провести в виде консультации и контрольной или зачетной работы (по выбору учителя)
Курс рассчитан на 17 часов.
Учебно-тематический план
¹ п/п
| Наименование разделов и тем
| Кол-во часов
| 1
| Понятие возвратной последовательности. Примеры возвратных последовательностей
| 4
| 2
| Возвратная последовательность порядка /с, ее свойства
| 2
| 3
| Формула общего члена возвратной последовательности; основные свойства, теоремы
| 4
| 4
| Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей
| 5
| 5
| Зачет или контрольная работа
| 2
|
Содержание программы
Тема 1. Понятие возвратной последовательности. Примеры возвратных последовательностей.
Цель и значение элективного курса. Систематизация знаний учащихся об арифметической и геометрической прогрессии, последовательности квадратов натуральных чисел. Понятие о возвратной последовательности и исторические сведения о них. Примеры возвратных последовательностей: арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательность Фибоначчи, последовательность квадратов натуральных чисел, периодические последовательности.
Тема 2. Возвратная последовательность порядка k и ее свойства.
Последовательность коэффициентов частного отделения двух многочленов, расположенных по возрастающим степеням. Понятие возвратной последовательности порядка k. Доказательство утверждения о том, что произвольная возвратная последовательность порядка k совпадает с последовательностью коэффициентов частного, полученного от деления многочлена на многочлен. Отыскание суммы n членов возвратной последовательности.
Тема 3. Формула общего члена возвратной последовательности, основные свойства, теоремы.
Детальное исследование структуры членов возвратной последовательности. Формулы, позволяющие вычислять в самом общем случае любой член возвратной последовательности, не прибегая к вычислению предшествующих членов. Примеры применения формулы к возвратным последовательностям порядка k, к последовательности Фибоначчи и к другим последовательностям, удовлетворяющих уравнению второго порядка Un+2 = Uп+1 + Un.
Доказательство возможности представлять любую из бесконечного множества последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же возвратному уравнению порядка k, через некоторые из них по формуле Un = Аn0 + Вуn + ...... + Сzn.
Теорема о существовании единственного решения системы k линейных алгебраических уравнений с k неизвестными. Понятие базиса возвратного уравнения. Примеры отыскания базиса возвратного уравнения.
Условия удовлетворения геометрической прогрессии возвратному уравнению порядка k. Теорема о числе операций последовательного деления в алгоритме Евклида. Примеры нахождения суммы членов арифметической прогрессии, суммы квадратов натуральных чисел, суммы кубов натуральных чисел.
Тема 4. Метод математической индукции и его применение к решению задач.
Полная и неполная индукция. Метод математической индукции. Применение метода математической индукции в задачах на суммирование. Доказательство тождеств. Доказательство неравенств методом математической индукции. Доказательство неравенств. Применение метода математической индукции в решении вопросов делимости. Задачи на делимость. Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей (прогрессий, ряда Фибоначчи). Свойства числовых последовательностей. Задачи, решаемые методом математической индукции.
Литература
1. Детская энциклопедия. Я познаю мир. Математика. - М.: Астрелъ, 2002.
2. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 2001.
3.Лэнгдон Н., Снейт Ч. С математикой в путь.- М.: Педагогика, 1987.
4. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. - М.: Наука, 1983.
5. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под редакцией М.И. Сканави. Шестое издание. - М.: ОНИКС 21 век-Альянс. - В, 2000.
6. Стратилатов П.В. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 9 классов. - М.: Просвещение, 1974.
7. Энциклопедический словарь юного математика. 2-е издание. - М.: ПедагогикА, 1989.
8. Самусенко А.В., Казаченко В.В. Математика: типичные ошибки абитуриентов. - Минск: Высшая школа, 1995.
9. Антипов И.Н. и др. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. - М.: Просвещение, 1983.
10. Генкин С. А. и др. Ленинградские математические кружки. - Киров: Изд-во "АСА", 1994.
11. Фридман Л.М., Турецкий Е.И. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1989.
Геометрия циркуля
Л.А. Степанова, учитель математики
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
учитель математики средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
Пояснительная записка
Элективный курс "Геометрия циркуля" для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов посвящен задачам на построение, выполняемое с помощью циркуля.
Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая теорема Евклида была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты. Было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или с помощью одного циркуля, или одной линейки.
Уже давно было замечено, что циркуль является более точным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной прямой и т.д.
Предлагаемый курс расширяет спектр задач на построение. Новые свойства, теоремы, входящие в элективный курс, позволяют решать уже знакомые задачи новым оригинальным способом, используя только циркуль. Все это должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Представляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает геометрическую интуицию, конструктивное мышление, без которых немыслимо творчество.
Данный курс рассчитан на 17 часов, включает в себя 4 блока.
На первый блок отводится четыре часа, здесь доказывается основная теорема геометрии циркуля и раскрываются цели и задачи курса "Геометрия циркуля", история его развития.
Второй блок посвящен решению задач на построение с использованием одного лишь циркуля, на него достаточно выделить четыре часа.
На третий блок отводится три часа, его цель - изучение инверсии, ее свойств и их применения в задачах.
На последний, четвертый блок отводится пять часов, здесь рассматриваются геометрические построения одним циркулем с ограничениями. Здесь важно показать практическую значимость геометрических знаний.
Последнее занятие можно провести в форме зачета, защиты творческих работ и др. (по выбору учителя).
Доказательство возможности представлять любую из бесконечного множества последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же возвратному уравнению порядка k, через некоторые из них по формуле Un = Аn0 + Вуn + ...... + Сzn.
Теорема о существовании единственного решения системы k линейных алгебраических уравнений с k неизвестными. Понятие базиса возвратного уравнения. Примеры отыскания базиса возвратного уравнения.
Условия удовлетворения геометрической прогрессии возвратному уравнению порядка k. Теорема о числе операций последовательного деления в алгоритме Евклида. Примеры нахождения суммы членов арифметической прогрессии, суммы квадратов натуральных чисел, суммы кубов натуральных чисел.
Тема 4. Метод математической индукции и его применение к решению задач.
Полная и неполная индукция. Метод математической индукции. Применение метода математической индукции в задачах на суммирование. Доказательство тождеств. Доказательство неравенств методом математической индукции. Доказательство неравенств. Применение метода математической индукции в решении вопросов делимости. Задачи на делимость. Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей (прогрессий, ряда Фибоначчи). Свойства числовых последовательностей. Задачи, решаемые методом математической индукции.
Литература
1. Детская энциклопедия. Я познаю мир. Математика. - М.: Астрелъ, 2002.
2. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 2001.
3.Лэнгдон Н., Снейт Ч. С математикой в путь.- М.: Педагогика, 1987.
4. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. - М.: Наука, 1983.
5. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под редакцией М.И. Сканави. Шестое издание. - М.: ОНИКС 21 век-Альянс. - В, 2000.
6. Стратилатов П.В. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 9 классов. - М.: Просвещение, 1974.
7. Энциклопедический словарь юного математика. 2-е издание. - М.: ПедагогикА, 1989.
8. Самусенко А.В., Казаченко В.В. Математика: типичные ошибки абитуриентов. - Минск: Высшая школа, 1995.
9. Антипов И.Н. и др. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. - М.: Просвещение, 1983.
10. Генкин С. А. и др. Ленинградские математические кружки. - Киров: Изд-во "АСА", 1994.
11. Фридман Л.М., Турецкий Е.И. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1989.
Геометрия циркуля
Л.А. Степанова, учитель математики
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
учитель математики средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
Пояснительная записка
Элективный курс "Геометрия циркуля" для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов посвящен задачам на построение, выполняемое с помощью циркуля.
Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая теорема Евклида была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты. Было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или с помощью одного циркуля, или одной линейки.
Уже давно было замечено, что циркуль является более точным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной прямой и т.д.
Предлагаемый курс расширяет спектр задач на построение. Новые свойства, теоремы, входящие в элективный курс, позволяют решать уже знакомые задачи новым оригинальным способом, используя только циркуль. Все это должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Представляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает геометрическую интуицию, конструктивное мышление, без которых немыслимо творчество.
Данный курс рассчитан на 17 часов, включает в себя 4 блока.
На первый блок отводится четыре часа, здесь доказывается основная теорема геометрии циркуля и раскрываются цели и задачи курса "Геометрия циркуля", история его развития.
Второй блок посвящен решению задач на построение с использованием одного лишь циркуля, на него достаточно выделить четыре часа.
На третий блок отводится три часа, его цель - изучение инверсии, ее свойств и их применения в задачах.
На последний, четвертый блок отводится пять часов, здесь рассматриваются геометрические построения одним циркулем с ограничениями. Здесь важно показать практическую значимость геометрических знаний.
Последнее занятие можно провести в форме зачета, защиты творческих работ и др. (по выбору учителя).
Доказательство возможности представлять любую из бесконечного множества последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же возвратному уравнению порядка k, через некоторые из них по формуле Un = Аn0 + Вуn + ...... + Сzn.
Теорема о существовании единственного решения системы k линейных алгебраических уравнений с k неизвестными. Понятие базиса возвратного уравнения. Примеры отыскания базиса возвратного уравнения.
Условия удовлетворения геометрической прогрессии возвратному уравнению порядка k. Теорема о числе операций последовательного деления в алгоритме Евклида. Примеры нахождения суммы членов арифметической прогрессии, суммы квадратов натуральных чисел, суммы кубов натуральных чисел.
Тема 4. Метод математической индукции и его применение к решению задач.
Полная и неполная индукция. Метод математической индукции. Применение метода математической индукции в задачах на суммирование. Доказательство тождеств. Доказательство неравенств методом математической индукции. Доказательство неравенств. Применение метода математической индукции в решении вопросов делимости. Задачи на делимость. Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей (прогрессий, ряда Фибоначчи). Свойства числовых последовательностей. Задачи, решаемые методом математической индукции.
Литература
1. Детская энциклопедия. Я познаю мир. Математика. - М.: Астрелъ, 2002.
2. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 2001.
3.Лэнгдон Н., Снейт Ч. С математикой в путь.- М.: Педагогика, 1987.
4. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. - М.: Наука, 1983.
5. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под редакцией М.И. Сканави. Шестое издание. - М.: ОНИКС 21 век-Альянс. - В, 2000.
6. Стратилатов П.В. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 9 классов. - М.: Просвещение, 1974.
7. Энциклопедический словарь юного математика. 2-е издание. - М.: ПедагогикА, 1989.
8. Самусенко А.В., Казаченко В.В. Математика: типичные ошибки абитуриентов. - Минск: Высшая школа, 1995.
9. Антипов И.Н. и др. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. - М.: Просвещение, 1983.
10. Генкин С. А. и др. Ленинградские математические кружки. - Киров: Изд-во "АСА", 1994.
11. Фридман Л.М., Турецкий Е.И. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1989.
Геометрия циркуля
Л.А. Степанова, учитель математики
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
учитель математики средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
Пояснительная записка
Элективный курс "Геометрия циркуля" для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов посвящен задачам на построение, выполняемое с помощью циркуля.
Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая теорема Евклида была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты. Было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или с помощью одного циркуля, или одной линейки.
Уже давно было замечено, что циркуль является более точным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной прямой и т.д.
Предлагаемый курс расширяет спектр задач на построение. Новые свойства, теоремы, входящие в элективный курс, позволяют решать уже знакомые задачи новым оригинальным способом, используя только циркуль. Все это должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Представляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает геометрическую интуицию, конструктивное мышление, без которых немыслимо творчество.
Данный курс рассчитан на 17 часов, включает в себя 4 блока.
На первый блок отводится четыре часа, здесь доказывается основная теорема геометрии циркуля и раскрываются цели и задачи курса "Геометрия циркуля", история его развития.
Второй блок посвящен решению задач на построение с использованием одного лишь циркуля, на него достаточно выделить четыре часа.
На третий блок отводится три часа, его цель - изучение инверсии, ее свойств и их применения в задачах.
На последний, четвертый блок отводится пять часов, здесь рассматриваются геометрические построения одним циркулем с ограничениями. Здесь важно показать практическую значимость геометрических знаний.
Последнее занятие можно провести в форме зачета, защиты творческих работ и др. (по выбору учителя).
Доказательство возможности представлять любую из бесконечного множества последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же возвратному уравнению порядка k, через некоторые из них по формуле Un = Аn0 + Вуn + ...... + Сzn.
Теорема о существовании единственного решения системы k линейных алгебраических уравнений с k неизвестными. Понятие базиса возвратного уравнения. Примеры отыскания базиса возвратного уравнения.
Условия удовлетворения геометрической прогрессии возвратному уравнению порядка k. Теорема о числе операций последовательного деления в алгоритме Евклида. Примеры нахождения суммы членов арифметической прогрессии, суммы квадратов натуральных чисел, суммы кубов натуральных чисел.
Тема 4. Метод математической индукции и его применение к решению задач.
Полная и неполная индукция. Метод математической индукции. Применение метода математической индукции в задачах на суммирование. Доказательство тождеств. Доказательство неравенств методом математической индукции. Доказательство неравенств. Применение метода математической индукции в решении вопросов делимости. Задачи на делимость. Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей (прогрессий, ряда Фибоначчи). Свойства числовых последовательностей. Задачи, решаемые методом математической индукции.
Литература
1. Детская энциклопедия. Я познаю мир. Математика. - М.: Астрелъ, 2002.
2. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 2001.
3.Лэнгдон Н., Снейт Ч. С математикой в путь.- М.: Педагогика, 1987.
4. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. - М.: Наука, 1983.
5. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под редакцией М.И. Сканави. Шестое издание. - М.: ОНИКС 21 век-Альянс. - В, 2000.
6. Стратилатов П.В. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 9 классов. - М.: Просвещение, 1974.
7. Энциклопедический словарь юного математика. 2-е издание. - М.: ПедагогикА, 1989.
8. Самусенко А.В., Казаченко В.В. Математика: типичные ошибки абитуриентов. - Минск: Высшая школа, 1995.
9. Антипов И.Н. и др. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. - М.: Просвещение, 1983.
10. Генкин С. А. и др. Ленинградские математические кружки. - Киров: Изд-во "АСА", 1994.
11. Фридман Л.М., Турецкий Е.И. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1989.
Геометрия циркуля
Л.А. Степанова, учитель математики
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
учитель математики средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
Пояснительная записка
Элективный курс "Геометрия циркуля" для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов посвящен задачам на построение, выполняемое с помощью циркуля.
Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая теорема Евклида была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты. Было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или с помощью одного циркуля, или одной линейки.
Уже давно было замечено, что циркуль является более точным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной прямой и т.д.
Предлагаемый курс расширяет спектр задач на построение. Новые свойства, теоремы, входящие в элективный курс, позволяют решать уже знакомые задачи новым оригинальным способом, используя только циркуль. Все это должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Представляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает геометрическую интуицию, конструктивное мышление, без которых немыслимо творчество.
Данный курс рассчитан на 17 часов, включает в себя 4 блока.
На первый блок отводится четыре часа, здесь доказывается основная теорема геометрии циркуля и раскрываются цели и задачи курса "Геометрия циркуля", история его развития.
Второй блок посвящен решению задач на построение с использованием одного лишь циркуля, на него достаточно выделить четыре часа.
На третий блок отводится три часа, его цель - изучение инверсии, ее свойств и их применения в задачах.
На последний, четвертый блок отводится пять часов, здесь рассматриваются геометрические построения одним циркулем с ограничениями. Здесь важно показать практическую значимость геометрических знаний.
Последнее занятие можно провести в форме зачета, защиты творческих работ и др. (по выбору учителя).
Доказательство возможности представлять любую из бесконечного множества последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же возвратному уравнению порядка k, через некоторые из них по формуле Un = Аn0 + Вуn + ...... + Сzn.
Теорема о существовании единственного решения системы k линейных алгебраических уравнений с k неизвестными. Понятие базиса возвратного уравнения. Примеры отыскания базиса возвратного уравнения.
Условия удовлетворения геометрической прогрессии возвратному уравнению порядка k. Теорема о числе операций последовательного деления в алгоритме Евклида. Примеры нахождения суммы членов арифметической прогрессии, суммы квадратов натуральных чисел, суммы кубов натуральных чисел.
Тема 4. Метод математической индукции и его применение к решению задач.
Полная и неполная индукция. Метод математической индукции. Применение метода математической индукции в задачах на суммирование. Доказательство тождеств. Доказательство неравенств методом математической индукции. Доказательство неравенств. Применение метода математической индукции в решении вопросов делимости. Задачи на делимость. Применение метода математической индукции при изучении свойств числовых последовательностей (прогрессий, ряда Фибоначчи). Свойства числовых последовательностей. Задачи, решаемые методом математической индукции.
Литература
1. Детская энциклопедия. Я познаю мир. Математика. - М.: Астрелъ, 2002.
2. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Математика для поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 2001.
3.Лэнгдон Н., Снейт Ч. С математикой в путь.- М.: Педагогика, 1987.
4. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. - М.: Наука, 1983.
5. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под редакцией М.И. Сканави. Шестое издание. - М.: ОНИКС 21 век-Альянс. - В, 2000.
6. Стратилатов П.В. Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 9 классов. - М.: Просвещение, 1974.
7. Энциклопедический словарь юного математика. 2-е издание. - М.: ПедагогикА, 1989.
8. Самусенко А.В., Казаченко В.В. Математика: типичные ошибки абитуриентов. - Минск: Высшая школа, 1995.
9. Антипов И.Н. и др. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. - М.: Просвещение, 1983.
10. Генкин С. А. и др. Ленинградские математические кружки. - Киров: Изд-во "АСА", 1994.
11. Фридман Л.М., Турецкий Е.И. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1989.
Геометрия циркуля
Л.А. Степанова, учитель математики
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
учитель математики средняя школа ¹ 10, г. Набережные Челны
Пояснительная записка
Элективный курс "Геометрия циркуля" для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов посвящен задачам на построение, выполняемое с помощью циркуля.
Геометрические построения являются существенным фактором математического образования; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая теорема Евклида была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом циркуль и линейка рассматривались как равноправные инструменты. Было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или с помощью одного циркуля, или одной линейки.
Уже давно было замечено, что циркуль является более точным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной прямой и т.д.
Предлагаемый курс расширяет спектр задач на построение. Новые свойства, теоремы, входящие в элективный курс, позволяют решать уже знакомые задачи новым оригинальным способом, используя только циркуль. Все это должно располагать к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Представляя возможность осмыслить свойства и их доказательства, учитель развивает геометрическую интуицию, конструктивное мышление, без которых немыслимо творчество.
Данный курс рассчитан на 17 часов, включает в себя 4 блока.
На первый блок отводится четыре часа, здесь доказывается основная теорема геометрии циркуля и раскрываются цели и задачи курса "Геометрия циркуля", история его развития.
Второй блок посвящен решению задач на построение с использованием одного лишь циркуля, на него достаточно выделить четыре часа.
На третий блок отводится три часа, его цель - изучение инверсии, ее свойств и их применения в задачах.
На последний, четвертый блок отводится пять часов, здесь рассматриваются геометрические построения одним циркулем с ограничениями. Здесь важно показать практическую значимость геометрических знаний.
Последнее занятие можно провести в форме зачета, защиты творческих работ и др. (по выбору учителя).
¹ п/пП
| Наименование тем
| Кол-во часов
| 1
| Введение. Основная теорема геометрии цирку ля
| 4
| 2
| Решение геометрических задач на построение одним циркулем
| 4
| 3
| Инверсия и ее основные свойства Применение метода инверсии в геометрии циркуля
| 3
| 4
| Геометрические построения одним циркулем с ограничениями
| 5
| 5
| Зачет или контрольная работа
| 1
|
Учебно-тематический план
Содержание программы
Тема 1. Основная теорема геометрии циркуля.
На первом занятии учащимся сообщается цель и значение элективного курса, рассказывается об истории развития геометрии циркуля, систематизируются знания учащихся об основных задачах на построение, выполняемое с помощью циркуля и линейки. Далее рассматриваются некоторые задачи на построение, после чего доказывается основная теорема геометрии циркуля.
Тема 2. Решение геометрических задач на построение одним циркулем.
Задачи, предлагаемые учащимся, позволяют более подробно ознакомиться с геометрическими построениями, выполняемыми с помощью одного циркуля, способствуют овладению навыками решения задач на построение,
|
|
|
