|
XII Республиканская олимпиада по астрономии и космической физике
Решения районного тура
8-9 классы
1. Орбита Плутона имеет значительный (0.25) эксцентриситет, поэтому перигелийное расстояние Плутона rп Плутона= a(1-e)=39.46(1-0.25)=29.60 а.е. меньше, чем среднее расстояние от Нептуна до Солнца. Учитывая, что эксцентриситет Нептуна весьма мал (0.009) и перигелийное расстояние от Нептуна до Солнца составляет rп Нептуна= a(1-e)=30.06(1-0.009)=29.79 а.е. > rп Плутона, то КАЖДЫЙ свой перигелий Плутон будет находиться ближе к Солнцу, чем Нептун, в какой бы точке своей орбиты ни располагался последний. Поэтому описанная в задаче ситуация будет повторяться с периодичностью, равной сидерическому периоду TПлутона, который может быть найден из 3-го закона Кеплера. Т2=а3 Плутона, TПлутона=39.463/2=248.2 года.
Для 8-9 классов допускается ответ без расчетов, только на знание Солнечной системы.
Для 10 классов полное решение, приведенное выше, м.быть упрощено предположением о круговой орбите Нептуна.
2. Согласно 2-му закону Ньютона F=ma, где F- равнодействующая сил. На частицу действуют только 2 противоположнонаправленные силы – сила тяжести mg и сила трения Fтр, поэтому ma = Fтр - mg. Сила действия атмосферы на частицу – это сила трения, по модулю Fтр=m(a+g) (Для упрощения принято, что метеор падает вертикально вниз) Примем g=9.8 м/с за секунду (поскольку метеор обычно сгорает на высотах 80…100км, где g немного меньше, мы получим чуть заниженый результат, впрочем, ошибка исчезающе мала, поскольку g<<a и комментарий имеет только методическое значение, не влияя на числовой результат). Тогда искомая сила Fтр~10-6 (10000+9.8)=1.00098*10-2~0.01Н.
Решение может быть принято полным, если в ответе указывается, что g<<a.
3. Горизонтальный параллакс p и расстояние до объекта r связаны соотношением r=d/sin(p), где d – величина базиса, в нашем случае равная радиусу Земли. Тогда расстояние до Эроса r=6380/2.9*10-4=2.2*107км=0.146 а.е.
4. В день проведения Олимпиады (9декабря) Солнце менее, чем на 1 час по прямому восхождению отстоит от точки зимнего солнцестояния. Поскольку вблизи точек солнцестояний проекция эклиптики на небесную сферу почти параллельна небесному экватору, измененеие склонения мало и можем приближенно считать dо=-23о (несколько больше, чем e=-23о26’, поскольку Солнце дня солнцестояния еще не достигло). Тогда по формуле для высоты светила в верхнюю кульминацию h=90-f+d получим h=90-55о47’-23о=11о13’. Более точный расчет можно провести, если записать уравнение изменения склонения Солнца в виде синусоиды dо=e*(sin(360/T)*t) или dо=23о 26’(sin(360/365.25)*t), где t – время в сутках, прошедшее со дня весеннего равноденствия, T~365.25 – продолжительность тропического года. Тогда получим на день Олимпиады t=261день и более точное значение dо~23о 26’(sin(360/365.25)*261)~-22о51’, h=11о22’. Как видно, первоначальное «интуитивное» предположение было весьма близко к истине.
Допускается упрощение dо=-e при указании, что вблизи точек солнцестояний проекция эклиптики на небесную сферу почти параллельна небесному экватору.
5. Согласно 3-му закону Кеплера, для обращающихся вокруг Солнца тел можно записать равенство T2=a3, где T – период в годах, а – большая полуось в а.е.. Тогда легко найти Т=а3/2; TСуюмбика=2.263/2~3.4 года.
10 классы
1. 1-я часть решения - см. решение задачи 3 категории 8-9 классов.
Для ответа на последний вопрос достаточно указать, что Эрос – из группы астероидов, сближающихся с Землей.
2. См. решение задачи 1 категории 8-9 классов.
3. См. решение задачи 4 категории 8-9 классов.
4. См. решение задачи 5 категории 8-9 классов.
5. Исходя из соотношения Погсона и закона обратных квадратов, можем записать
E1/E2=2.512m2-m1=(r2/r1)2. Здесь индексы «1» и «2» соответствуют одному и тому же излучающему телу, находящемуся на расстоянии r1 и r2, соответственно. Таким образом становится очевидным, что разность между двумя зв. величинами, измеренными с разных расстояний, сохраняется постоянной для разных объектов и зависит лишь от отношения квадратов этих расстояний, а не от светимости тела. Абсолютная звездная величина – звездная величина с расстояния в 10пк, т.е. блеск Юпитера и Солнца измерялся с одинаковых между собой расстояний в обоих случаях. Найдем эту разность для Солнца Dm=5-(-27)=32m. Тогда абсолютная звездная величина Юпитера составит mЮпитера + Dm = -5+32=27m – на пределе обнаружимости для современных телескопов.
11 классы
1. См. решение задачи 4 категории 8-9 классов.
2. Исходя из соотношения Погсона и закона обратных квадратов, можем записать
E1/E2=2.512m2-m1=(r2/r1)2. Здесь индексы «1» и «2» соответствуют одному и тому же излучающему телу, находящемуся на расстоянии r1 и r2, соответственно. Таким образом становится очевидным, что разность между двумя зв. величинами, измеренными с разных расстояний, сохраняется постоянной для разных объектов и зависит лишь от отношения квадратов этих расстояний, а не от светимости тела. Абсолютная звездная величина – звездная величина с расстояния в 10пк~2062650 а.е.. Найдем разность звездных величин светил на расстояниях в 1 а.е. и 10пк. m2-m1=Dm=2.5*lg(E1/E2)2=2.5*lg(r2/r1)2=5* lg(r2/r1) (тогда M=m+Dm). В данной задаче Dm=5*lg(2062650)=31.6m, т.е. абсолютная звездная величина Солнца Mо=-27+31.6=4.6m, а Юпитера MЮпитера=-5+31.6=26.6m.
3. Применив обобщенный 3-й закон Кеплера в виде (M+m)T2/a3=4p2/G, найдем суммарную массу Юпитера и Ио (M+m) = 4p2a3/T2G, (M+m) = 4*9.87*7.41*1025 /2.34*1010*6.67*10-11=1.87*1027кг. Вообще-то при данной точности входных данных это и есть масса Юпитера, поскольку М>>m. Но методически из этой суммы надо вычесть массу Ио, которую найдем как m=4/3pr3*r. Подставив численные данные, получим (в СИ) m=4*3.14*5.8*1018*3600/3=8.79*1022кг. Окончательно масса Юпитера М=1.87*1027кг-8.79*1022кг=1.87*1027кг в рамках точности задачи.
4. Синодический период – период повторения одинаковых взаимных конфигураций Земли и планеты. Поскольку период между повторением одинаковых расположений планет относительно друг друга и Солнца не зависит от точки наблюдения, то синодический период Земли для наблюдателя с Марса равен синодическому периоду Марса для наблюдателя с Земли. Этот же вывод можно получить, просто выведя формулу для синодического движения для наблюдателя на Марсе. Тогда 1/S=1/TЗемли -1/TМарса . Из 3-го закона Кеплера TМарса=(аМарса)3/2, т.е. TМарса=1.87 года, тогда искомый период S=2.14 года.
5. Светимость звезды в приближении абсолютно черного тела вычисляется по закону Стефана-Больцмана, L=4pR2sT4, тогда отношение светимостей Солнца через 5 миллиардов лет и сейчас будет равно L1/L0=(R1/R0)2*(T1/T0)4, где индексы «1» соответствуют будущему состоянию, индексы «0» - нынешнему. Выраженный в а.е., нынешний радиус Солнца составит 695000/1.5*108=4.63*10-3. Подставляя значения, получим L1/L0=(0.8/4.63*10-3)2*(3000/5800)4=(172.7)2*(0.517)4=29811.5*0.072=2146.4
|
|
|
